Question

8．如图，已知△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠A，B在AD上的射影为E，EB交AM于N，求证：DN∥AB．

Answer 1

分析 注意到AE既平分∠BAC又垂直BE，延长BE、AC交于点F，根据三线合一可知△ABF是等腰三角形，从而E是BF中点，又由于M是BC中点，连接ME，则ME∥AF，于是$\frac{CM}{MD}=\frac{AE}{DE}$，对于△BDE和截线AMN由梅涅劳斯定理可得$\frac{BM}{MD}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，又CM=BM，从而$\frac{CM}{MD}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，于是$\frac{AE}{DE}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，即$\frac{EN}{NB}=\frac{DE}{DA}$，结论得证．

解答 证明：延长BE、AC交于点F，连接ME，如图：

∵AE平分∠BAC，AE⊥BE，
∴BE=EF，
∵BM=CM，
∴EM∥AF，
∴$\frac{CM}{DM}=\frac{AE}{ED}$，
∴$\frac{BM}{DM}=\frac{AE}{ED}$，
对于△BDE和截线AMN，由梅涅劳斯定理可得$\frac{BM}{MD}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，
∴$\frac{AE}{DE}•\frac{DA}{AE}•\frac{EN}{NB}=1$，
∴$\frac{DA}{DE}=\frac{NB}{NE}$，
∴DN∥AB．
证毕．

点评 本题主要考查了梅涅劳斯定理的应用、三线合一、中位线、平行线分线段成比例定理及其逆定理等知识点，难度较大，对学生的数学素质要求较高．根据线段AE的“三线合一”特性构造等腰三角形是本题的突破口，后面的工作就是比例推导而已．