【题目】已知抛物线和
(1)如何将抛物线平移得到抛物线
?
(2)如图1,抛物线与
轴正半轴交于点
,直线
经过点
,交抛物线
于另一点
.请你在线段
上取点
,过点
作直线
轴交抛物线
于点
,连接
①若,求点
的横坐标
②若,直接写出点
的横坐标
(3)如图2,的顶点
、
在抛物线
上,点
在点
右边,两条直线
、
与抛物线
均有唯一公共点,
、
均与
轴不平行.若
的面积为2,设
、
两点的横坐标分别为
、
,求
与
的数量关系
【答案】(1)见解析;(2)①点的横坐标为
.②
.(3)
.
【解析】
(1)根据两个抛物线的顶点坐标即可确定平移方式;
(2)①如图1,设抛物线与
轴交于
点,直线
与
轴交于
点,确定出点A、C、D的坐标,进而由
,
轴,可得
,
两点关于
轴对称,设
关于
轴的对称点为
,从而可得直线
的解析式为
,继而解方程组
即可求得答案;
②如图2,,设P
,Q
,分别表示出PQ长,AP2,再根据AP=PQ,得到关于m的方程,解方程即可求得答案;
(3)如图3,分别求出直线NE、NE、MN的解析式,作轴交
于
点,表示出EF的长,继而根据三角形面积公式进行求解即可.
(1)抛物线的顶点坐标是(1,-4),
抛物线的顶点坐标是(0,0),
所以将先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到
或将
先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到
;
(2)①如图1,设抛物线与
轴交于
点,直线
与
轴交于
点,
,
当x=0时,y=-3,
当y=0时,x=-1或x=3,
∴,
,
∵直线经过
,∴
,
,
∵,
轴,∴
,
两点关于
轴对称,
设关于
轴的对称点为
,则
,
∴直线的解析式为
,
由,得,
,
,
∴,
∴,
∴点的横坐标为
;
②如图2,,
设P,Q
,
则有PQ=-
=-m2+
m+7,
又∵A(3,0),
∴AP2=(3-m)2+()2=
,
∵AP=PQ,
∴(-m2+m+7)2=
,
∴[(m-3)(3m+7)]2=
,
∴(m-3)2(3m+7)2=25(m-3)2,
∵m≠3,
∴(3m+7)2=25,
∴m1=-,m2=-4(舍去),
∴m=-;
(3)如图3,
∵,∴
,
,
设直线的解析式为
,
∵,∴
,
由得,
,
依题意有,,∴
,
∴直线的解析式为
,
同理,直线的解析式为
,
由得,
,
∵,
,
∴直线的解析式为
,
作轴交
于
点,则
,
∴,
∴,
∴.
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【题目】如图,在反比例函数y= 的图象上有一动点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B,在第二象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数y=
的图象上运动,若tan∠CAB=2,则k的值为( )
A. ﹣3 B. ﹣6 C. ﹣9 D. ﹣12
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【题目】某学校初二和初三两个年级各有600名同学,为了科普卫生防疫知识,学校组织了一次在线知识竞赛,小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息.
.初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下(数据分成5组:
,
,
,
,
):
.初二年级学生知识竞赛成绩在
这一组的数据如下:
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
.初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下:
平均数 | 中位数 | 方差 | |
初二年级 | 80.8 | 96.9 | |
初三年级 | 80.6 | 86 | 153.3 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图;
(2)写出表中的值;
(3)同学看到上述的信息后,说自己的成绩能在本年级排在前40%,
同学看到
同学的成绩后说:“很遗憾,你的成绩在我们年级进不了前50%”.请判断
同学是________(填“初二”或“初三”)年级的学,你判断的理由是________.
(4)若成绩在85分及以上为优秀,请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,过⊙T外一点P引它的两条切线,切点分别为M,N,若,则称P为⊙T的环绕点.
(1)当⊙O半径为1时,
①在中,⊙O的环绕点是___________;
②直线y=2x+b与x轴交于点A,y轴交于点B,若线段AB上存在⊙O的环绕点,求b的取值范围;
(2)⊙T的半径为1,圆心为(0,t),以为圆心,
为半径的所有圆构成图形H,若在图形H上存在⊙T的环绕点,直接写出t的取值范围.
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【题目】问题背景:如图,将绕点
逆时针旋转60°得到
,
与
交于点
,可推出结论:
问题解决:如图,在中,
,
,
.点
是
内一点,则点
到
三个顶点的距离和的最小值是___________
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,点E为AC延长线上一点,且∠BAC=2∠CDE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若cosB=,CE=2,求DE.
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【题目】从﹣4、3、5这三个数中,随机抽取一个数,记为a,那么,使关于x的方程x2+4x+a=0有解,且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率_____.
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【题目】(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).
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【题目】如图,在△ABC中,点D为边BC上一点,且AD=AB,AE⊥BC,垂足为点E.过点D作DF∥AB,交边AC于点F,连接EF,EF2=BDEC.
(1)求证:△EDF∽△EFC;
(2)如果,求证:AB=BD.
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