Question

已知△AOD≌△AOE，∠ADO=90°，点B在边DO上，点C在OE的延长线上，且∠AOC=∠BAC=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求证：OB+OC=OA；
（3）若BA=5，OA=7，求△BOC的周长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）由已知三角形全等，得到对应角相等，对应边相等，进而得到∠DAB=∠EAC，再由一对直角相等，且夹边AD=AE，利用ASA得到三角形ADB与三角形AEC全等，利用全等三角形对应边相等得到AB=AC，再由∠BAC=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形即可得证；
（2）延长OC到F，使得CF=OB，连结AF，根据三角形ABC为等边三角形得到AB=AC，由三角形ADB与三角形AEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，利用等角的补角相等得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABO与三角形ACF全等，进而得到AO=AF，由∠ACF=60°，得到三角形ACF为等边三角形，根据OA=OF，等量代换即可得证；
（3）表示出三角形BOC的周长，等量代换即可求出．

解答：（1）证明：∵△AOD≌△AOE，∠D=90°，
∴∠AOD=∠AOC=60°，∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE，
∴∠DAE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC=60°-∠BAE，
在△ADB和△AEC中，

∠D=∠AEC=90° AD=AE ∠DAB=∠EAC

，
∴△ADB≌△AEC（ASA），
∴AB=AC，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：延长OC到F，使得CF=OB，连结AF，
∵△ADB≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，即∠ABO=∠ACF，
在△ABO和△ACF中，

AB=AC ∠ABO=∠ACF BO=CF

，
∴△ABO≌△ACF（SAS），
∴AO=AF，
∵∠AOF=60°，
∴△AOF是等边三角形，即AO=OF，
∴AO=OB+OC；
（3）解：∵OA=OF=OC+CF=OC+OB，BC=AB，
∴△OBC的周长=OB+OC+BC=OA+BC=OA+AB=12．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．