Question

已知：如图1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE，点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°．
（1）求证：△CAB≌△ECD．
（2）分别以图1中的AB、AC、DE为边作正方形，得图2，已知正方形a、c的面积分别为11和5，求正方形b的面积．

（3）在直线l上依次摆放着4027个正方形（如图3）．已知斜着放置的2013个正方形的面积分别是1、2、3、…、2013，正放置的2014个正方形的面积依次是S₁、S₂、S₃、S₄、…、S₂₀₁₄，请猜想：S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：综合题

分析：（1）利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AC=EC，利用AAS即可得证；
（2）由（1）的全等三角形对应边相等得到BC=ED，AB=CD，根据正方形a与c的面积求出AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，即可确定出正方形b的面积；
（3）根据（2）得出一般性规律，即可确定出所求式子的值．

解答：解：（1）∵∠ACE=∠B=∠D=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠DCE=∠BAC，
在△ABC和△CDE中，

∠B=∠D=90° ∠DCE=∠BAC AC=EC

，
∴△ABC≌△CDE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△CDE，
∴AB=CD，BC=ED，
∵正方形a、c的面积分别为11和5，
∴AB=CD=

11

，BC=ED=

5

，
根据勾股定理得：正方形b的边长为

11+5

=4，
则正方形b的面积为16；
（3）根据（2）得：正方形a面积+正方形c的面积=正方形b的面积，
由题意得：S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₁₄=1+3+…+2013=1007×1+

1007×1006

2

×2=1014049．
故答案为：（3）1014049．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．