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【题目】如图,在长方形中,=4 =8,点边上一点,且,点是边上一动点,连接,则下列结论:① ;②当时,平分 周长的最小值为15 ;④当时,平分.其中正确的个数有(

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

根据,可设BE=x,则AE=8-x,利用RtABE中勾股定理即可求出BE;当时,四边形APCE为菱形,故可得到平分 ;作C点关于直线AD的对称点C’,根据对称性即可求出△周长的最小值;过点AAHPEPGBC,根据求得DPGC的长,再得到EG,故可求出BP的长,根据等面积法得到AH的长,由AH=AB即可证明平分.

,设BE=x,则AE=8-x

RtABEAE2=AB2+BE2,

即(8-x2=42+x2,

解得x=3,故正确;

时,∵EC=5

APEC,AP=CE

∴四边形APCE为平行四边形。

AE=EC

∴四边形APCE为菱形,

故可得到平分 正确;

C点关于直线AD的对称点C’,则PC=PC’

∴△周长的最小值为EC+EC’=5+,故错误;

过点AAHPEPGBC

AB=PG=4

PD==GC

EG=5-=

EP==

SAEP=AP×PG=EP×AH

××4=××AH

AH=4=AB

平分,④正确;

故选B.

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