Question

15．如图，已知△ABC与△DEF分别是等边三角形和等腰直角三角形，AD与FC分别是△ABC和△DEF的高，AC与DF交于点G，BC，DE在同一条直线上，则下列说法不正确的是（　　）

• A． △AGD∽△CGF
• B． △AGD∽△DGC
• C． $\frac{{S}_{△AGD}}{{S}_{△CGF}}$=3
• D． $\frac{AG}{CG}$=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设AB=BC=AC=2a，根据等边三角形的性质得出AD⊥BC，BD=DC=a，由勾股定理求出AD=$\sqrt{3}$a，根据△DEF是等腰直角三角形的性质得出FC⊥DE，DC=CE=DF=a，求出AD∥FC，推出△AGD∽△CGF，再逐个判断即可．

解答 解：A、设AB=BC=AC=2a，
∵三角形ABC是等边三角形，AD是高，
∴AD⊥BC，BD=DC=a，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{（2a）^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∵△DEF是等腰直角三角形，FC是高，
∴FC⊥DE，DC=CE=DF=a，
∴AD∥FC，
∴△AGD∽△CGF，故本选项错误；
B、不能推出△AGD∽△DGC，故本选项正确；
C、∵△AGD∽△CGF，AD=$\sqrt{3}$a，FC=a，
∴$\frac{{S}_{△AGD}}{{S}_{△CGF}}$=（$\frac{AD}{FC}$）²=3，故本选项错误；
D、∵△AGD∽△CGF，AD=$\sqrt{3}$a，FC=a，
∴$\frac{AG}{CG}$=$\frac{AD}{FC}$=$\sqrt{3}$，故本选项错误；
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理的应用，能求出△AGD∽△CGF是解此题的关键．