Question

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一动点，∠B=60°，AB=BC．
（1）若∠DEC=60°，判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论；
（2）若∠EDC=60°，且AB=BC=4，求△ADE周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）过E作EF∥BC交AC于F点，证明△ABC和△AEF为等边三角形，得出AE=EF，∠AEF=∠AFE=60°，由ASA证明△ADE≌△FCE，得出AD=FC，即可得出结论；
（2）证明A、E、C、D四点共圆，得出∠BEC=∠ADC，由AAS证明△BCE≌△ACD，得出BE=AD，CE=CD，证出△CDE是等边三角形，得出DE=CD，当CD⊥AD时，CD最小=AC•sin60°=2$\sqrt{3}$，即可得出结果．

解答 （1）解：BC=AD+AE．理由如下：
过E作EF∥BC交AC于F点，如图所示：
∵∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵EF∥BC，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠CFE=120°，
又∵AD∥BC，∠B=60°故∠BAD=120°，
又∵∠DEC=60°，∠AEF=60°，
∴∠AED=∠FEC，
在△ADE与△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠CFE}\\{AE=EF}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA）．
∴AD=FC，
∴BC=AD+AE；
（2）解：由（1）得：△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠ACB=60°=∠EDC，
∴A、E、C、D四点共圆，
∴∠BEC=∠ADC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=60°=∠B，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAC}&{\;}\\{∠BEC=∠ADC}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴BE=AD，CE=CD，
∴AE+AD=AE+BE=AB=4，△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，
当CD⊥AD时，CD最小=AC•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∵△ADE周长=AD+AE+DE=AB+DE=AB+CD，
∴△ADE周长的最小值=4+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、四点共圆、圆内接四边形的性质、最值问题等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等是解决问题的关键．