Question

7．建立模型：
如图1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上．
操作：
过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．求证：△CAD≌△BCE．
模型应用：
（1）如图2，在直角坐标系中，直线l₁：y=$\frac{4}{3}$x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l₁绕着点A顺时针旋转45°得到l₂．求l₂的函数表达式．
（2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a-6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 操作：根据余角的性质，可得∠ACD=∠CBE，根据全等三角形的判定，可得答案；
应用（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，根据待定系数法，可得AC的解析式；
（2）根据全等三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：操作：如图1：，
∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠D=∠E}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（1）∵直线y=$\frac{4}{3}$x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，4）、B（-3，0）．
如图2：，
过点B做BC⊥AB交直线l₂于点C，过点C作CD⊥x轴
在△BDC和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠BAO}\\{∠D=∠O}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD=BO=3，BD=AO=4．OD=OB+BD=3+4=7，
∴C点坐标为（-7，3）．
设l₂的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-7k+b=3}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$
l₂的函数表达式为y=$\frac{1}{7}$x+4；
（2）由题意可知，点Q是直线y=2x-6上一点．
如图3：，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．
在△AQE和△QPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠QPF}\\{∠E=∠F}\\{AQ=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即6-（2a-6）=8-a，
解得a=4
如图4：，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，
AE=2a-12，FQ=8-a．
在△AQE和△QPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠QPF}\\{∠E=∠F}\\{AQ=PQ}\end{array}\right.$，
△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即2a-12=8-a，
解得a=$\frac{20}{3}$；
综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为$\frac{20}{3}$或4．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用余角的性质得出∠ACD=∠CBE是解题关键，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性质得出CD，BD的长是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．