Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：

①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OAOB=﹣．

其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

Answer 1

【答案】B

【解析】

试题分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1x2=，于是OAOB=﹣，则可对④进行判断．

解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，

而a＜0，

∴＜0，所以②错误；

∵C（0，c），OA=OC，

∴A（﹣c，0），

把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，

∴ac﹣b+1=0，所以③正确；

设A（x1，0），B（x2，0），

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，

∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

∴x1x2=，

∴OAOB=﹣，所以④正确．

故选：B．