【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx﹣3交x轴于点A(﹣3,0)、B(1,0),在y轴上有一点E(0,1),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点,求△ADE面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 二次函数解析式为y=x2+2x﹣3;(2) △ADE的面积取得最大值为;(3)点P的坐标为(﹣1,)或(﹣1,﹣)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣2)或(﹣1,4).
【解析】
(1)利用待定系数法求解可得;
(2)先求出直线的解析式为,作轴,延长交于点,设,则,,根据可得函数解析式,利用二次函数性质求解可得答案;
(3)先根据抛物线解析式得出对称轴为直线,据此设,由,知,,,再分,及三种情况分别求解可得.
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣3经过点A(﹣3,0)、B(1,0),
∴,
解得:,
∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3;
(2)设直线AE的解析式为y=kx+b,
∵过点A(﹣3,0),E(0,1),
∴,
解得:,
∴直线AE解析式为,
如图,过点D作DG⊥x轴于点G,延长DG交AE于点F,
设D(m,m2+2m﹣3),则F(),
∴DF=﹣m2﹣2m+3+m+1=﹣m2﹣m+4,
∴S△ADE=S△ADF+S△DEF
=×DF×AG+DF×OG
=×DF×(AG+OG)
=×3×DF
=(﹣m2﹣m+4)
=﹣m2﹣m+6
=﹣(m+)2+,
∴当m=时,△ADE的面积取得最大值为.
(3)∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1,
设P(﹣1,n),
∵A(﹣3,0),E(0,1),
∴AP2=(﹣1+3)2+(n﹣0)2=4+n2,AE2=(0+3)2+(1﹣0)2=10,PE2=(0+1)2+(1﹣n)2=(n﹣1)2+1,
①若AP=AE,则AP2=AE2,即4+n2=10,解得n=±,
∴点P(﹣1,)或(﹣1,﹣);
②若AP=PE,则AP2=PE2,即4+n2=(n﹣1)2+1,解得n=﹣1,
∴P(﹣1,﹣1);
③若AE=PE,则AE2=PE2,即10=(n﹣1)2+1,解得n=﹣2或n=4,
∴P(﹣1,﹣2)或(﹣1,4);
综上,点P的坐标为(﹣1,)或(﹣1,﹣)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣2)或(﹣1,4).
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【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何位置关系?(1) r=2cm;(2) r=2.4cm;(3) r=3cm.
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【题目】如图,在直角梯形OABC中,BC∥AO,∠AOC=90°,点A,B的坐标分别为(5,0), (2,6),点D为AB上一点,且BD=2AD,双曲线y=(k>0)经过点D,交BC于点E.
(1)求双曲线的解析式;
(2)求四边形ODBE的面积.
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【题目】如图,将半径为4,圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°,点B、C的对应点分别为点D、E且点D刚好在上,则阴影部分的面积为_____.
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【题目】如图,O为菱形ABCD对角线上一点,以点O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx﹣3交x轴于点A(﹣3,0)、B(1,0),在y轴上有一点E(0,1),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点,求△ADE面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.
(1)求证:AD是半圆O的切线;
(2)连结CD,求证:∠A=2∠CDE;
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【题目】已知:如图,PA、PB是⊙O的切线;A、B是切点;连结OA、OB、OP.
①若∠COP=∠DOP,求证:AC=BD;
②连结CD,设△PCD的周长为l,若l=2AP,判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由.
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