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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数yax2+bx3x轴于点A(﹣30)、B10),在y轴上有一点E01),连接AE

1)求二次函数的表达式;

2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点,求△ADE面积的最大值;

3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) 二次函数解析式为yx2+2x3(2)ADE的面积取得最大值为;(3)点P的坐标为(﹣1)或(﹣1,﹣)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣2)或(﹣14).

【解析】

1)利用待定系数法求解可得;

2)先求出直线的解析式为,作轴,延长于点,设,则,根据可得函数解析式,利用二次函数性质求解可得答案;

3)先根据抛物线解析式得出对称轴为直线,据此设,由,再分三种情况分别求解可得.

解:(1)∵二次函数yax2+bx3经过点A(﹣30)、B10),

解得:

∴二次函数解析式为yx2+2x3

2)设直线AE的解析式为ykx+b

∵过点A(﹣30),E01),

解得:

∴直线AE解析式为

如图,过点DDGx轴于点G,延长DGAE于点F

Dmm2+2m3),则F),

DF=﹣m22m+3+m+1=﹣m2m+4

SADESADF+SDEF

×DF×AG+DF×OG

×DF×AG+OG

×3×DF

(﹣m2m+4

=﹣m2m+6

=﹣m+2+

∴当m时,△ADE的面积取得最大值为

3)∵yx2+2x3=(x+124

∴抛物线对称轴为直线x=﹣1

P(﹣1n),

A(﹣30),E01),

AP2=(﹣1+32+n024+n2AE2=(0+32+10210PE2=(0+12+1n2=(n12+1

①若APAE,则AP2AE2,即4+n210,解得n±

∴点P(﹣1)或(﹣1,﹣);

②若APPE,则AP2PE2,即4+n2=(n12+1,解得n=﹣1

P(﹣1,﹣1);

③若AEPE,则AE2PE2,即10=(n12+1,解得n=﹣2n4

P(﹣1,﹣2)或(﹣14);

综上,点P的坐标为(﹣1)或(﹣1,﹣)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣2)或(﹣14).

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