Question

10．在CAB，△DEF中，CA=CB，DE=DF，△ACB=∠EDF=90°若把△DEF的顶点E放在AB的中点处并绕E旋转，交直线CA、CB于M、N连CE、MN，
（1）若△DEF绕E旋转到如图1的位置时，求CN、CM、MN、CE之间有何确定数量的关系？加以证明．
（2）若△DEF绕E旋转到如图2的位置时，求CN、CM、MN、CE之间有何确定数量的关系？加以证明．

Answer 1

分析 （1）在BC上截取BG=CM，连接EG，如图1，根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，∠DEF=45°，再由E为AB的中点得CE=AE=BE，则∠ACE=45°，BC=$\sqrt{2}$CE，于是可利用“SAS”证明△MCE≌△GBE，得到EM=EG，∠1=∠2，接着证明∠4=45°，则根据“SAS”可判断△ENM≌△ENG，得到MN=GN，所以•BC=CN+NG+BG=CN+MN+CM，则有CN+MN+CM=$\sqrt{2}$CE；
（2）在AC上截取AH=CN，连接EH，如图2，易证得△AHE≌△CNE，得到EH=EN，∠AEH=∠CEN，由于∠CEN=∠CEM+∠MEN=∠CEM+45°，∠AEH+∠HCE=90°，得到∠HEC+∠CNM=90°-（∠CEM+45°）+∠CEM=45°，即有∠HEM=∠NEM，于是可根据“SAS”证明△EMH≌△EMN，得到MH=MN，则CH=MH-CM=MN-CM，所以AC=AH+CH=CN+MN-CM，由此得到CN+MN-CM=CE．

解答 解：（1）CN+MN+CM=$\sqrt{2}$CE．理由如下：
在BC上截取BG=CM，连接EG，如图1，
∵CA=CB，DE=DF，∠ACB=∠EDF=90°，
∴△ACB和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，∠DEF=45°，
∵E为AB的中点，
∴CE=AE=BE，
∴∠ACE=45°，BC=$\sqrt{2}$CE，
在△MCE和△GBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=BG}&{\;}\\{∠MCE=∠B}&{\;}\\{CE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△GBE（SAS），
∴EM=EG，∠1=∠2，
∵∠1+∠3=45°，
∴∠3+∠2=45°，
∴∠4=45°，
在△ENM和△ENG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EN=EN}&{\;}\\{∠NEM=∠NEG}&{\;}\\{EM=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ENM≌△ENG（SAS），
∴MN=GN，
∴BC=CN+NG+BG=CN+MN+CM，
∴CN+MN+CM=$\sqrt{2}$CE；
（2）CN+MN-CM=$\sqrt{2}$CE．理由如下：
在AC上截取AH=CN，连接EH，如图2，
在△AHE和△CNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=CN}&{\;}\\{∠A=∠ECN}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△CNE（SAS），
∴EH=EN，∠AEH=∠CEN，
而∠CEN=∠CEM+∠MEN=∠CEM+45°，
∠AEH+∠HCE=90°，
∴∠HEC+∠CEM=90°-（∠CEM+45°）+∠CEM=45°，
∴∠HEM=∠NEM，
在△EMH和△EMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EH=EN}&{\;}\\{∠HEN=∠NEM}&{\;}\\{EM=EM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EMH≌△EMN（SAS），
∴MH=MN，
∴CH=MH-CM=MN-CM，
∴AC=AH+CH=CN+MN-CM，
∴CN+MN-CM=$\sqrt{2}$CE．

点评 本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．