Question

19．如图，在△ABC中，AC=BC=$\sqrt{5}$，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计算．

解答 解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接C′B，
此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=$\sqrt{5}$，
∵D是BC边的中点，
∴BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
根据勾股定理可得：DC′=$\sqrt{BC{′}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
故EC+ED的最小值是$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 此题考查了轴对称求最短路线的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．