Question

如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t=1时，求线段DP的长；
（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值；
（3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）得出OA=4，AB=3，CO=6，再根据当t=1时，AP=1，则OP=3，再证出

DP

AB

=

OP

OA

，最后代入计算即可，
（2）先作DE⊥CO于点E，根据DE=OP=4-t得出S=

1

2

×CQ×DE=-t²+4t，从而求出当t=2时，S有最大值，
（3）分两种情况讨论：①当0≤t＜3时，点Q在CO上运动，根据AB∥CO得出∠BOC=∠ABO＜∠ABC，证得BO=BC从而得出∠BOC=∠BCO＞∠BCA，根据AB∥CO得出∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC从而证出当0≤t≤3时，△ODQ与△ABC不可能相似；②当3＜t≤4时，点Q在x轴正半轴上运动，延长AB，根据AB∥CO得出∠ABC=∠DOQ，OQ=2t-6，再由DP∥AB可得OD=

20-5t

4

，最后根据

OD

BC

=

OQ

BA

和

OD

BA

=

OQ

BC

时，分别进行计算，求出t的值，即可得出答案．

解答：解：（1）如图1，由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，
当t=1时，AP=1，则OP=3，
∵PD⊥y轴，AB⊥y轴，
∴PD∥AB，
∴

DP

AB

=

OP

OA

，
∴

DP

3

=

3

4

，
∴DP=

9

4

；
          
（2）如图2，∵运动的时间为t秒，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，
∴CQ=2t，
∴AP=t，OP=4-t，
作DE⊥CO于点E，则DE=OP=4-t，
∴S=

1

2

×CQ×DE=

1

2

×2t×（4-t）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
当t=2时，S最大值=4；
           
（3）如图3，分两种情况讨论：
①当0≤t＜3时，点Q在CO上运动（当t=3时，△ODQ不存在），
∵AB∥CO，
∴∠BOC=∠ABO＜∠ABC，
可证得BO=BC，
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA，
∵AB∥CO，
∴∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC，
∴当0≤t≤3时，△ODQ与△ABC不可能相似；
②当3＜t≤4时，点Q在x轴正半轴上运动，
延长AB，
∵AB∥CO，
∴∠FBC=∠BCO=∠BOC，
∴∠ABC=∠DOQ   OQ=2t-6，
由DP∥AB可得OD=

20-5t

4

，
当

OD

BC

=

OQ

BA

时，

20-5t 4

5

=

2t-6

3

，t=

36

11

；  
当

OD

BA

=

OQ

BC

时，

20-5t 4

3

=

2t-6

5

，t=

172

49

；   
∴存在t=

36

11

和t=

172

49

，使△ODQ与△ABC相似．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、二次函数的最值，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况讨论．