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【题目】已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0).

(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;

(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值;

(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a2﹣n2+8n的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)m=1m=﹣;(3)4a2﹣n2+8n=16.

【解析】

1)直接利用△=b2-4ac,进而利用偶次方的性质得出答案;

2)首先解方程,进而由|x1-x2|=6,求出答案;

3)利用(2)中所求得出m的值,进而利用二次函数对称轴得出答案.

1)证明:由题意可得:

=1-5m2-4m×-5

=1+25m2-10m+20m

=5m+120

故无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;

2)解:mx2+1-5mx-5=0

解得:x1=-x2=5

|x1-x2|=6

|--5|=6

解得:m=1m=-

3)解:由(2)得,当m0时,m=1

此时抛物线为y=x2-4x-5,其对称轴为:x=2

由题已知,PQ关于x=2对称,

=2,即2a=4-n

4a2-n2+8n=4-n2-n2+8n=16

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