【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点E,F在AB,AC上,且∠EDF=90°.求证:BE=AF;
(2)点M,N分别在直线AD,AC上,且∠BMN=90°.如图2,当点M在AD的延长线上时,求证:AB+AN=AM;
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)先证∠BDE=∠ADF,再证△BDE≌△ADF,即可证明BE=AF;
(2)过点M作MP⊥AM,交AB的延长线于点P,先证△AMN≌△PMB,在Rt△AMP中,即可证明AB+AN=AM.
解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°,
∵AD⊥BC,
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠CAD=∠B,AD=BD,
∵∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF;
(2)如图,过点M作MP⊥AM,交AB的延长线于点P,
∴∠AMP=90°.
∵∠PAM=45°,
∴∠P=∠PAM=45°,
∴AM=PM.
∵∠BMN=∠AMP=90°,
∴∠BMP=∠AMN.
∵∠DAC=∠P=45°,
在△AMN和△PMB
∴△AMN≌△PMB(ASA),
∴AN=PB,
∴AP=AB+BP=AB+AN,
在Rt△AMP中,∠AMP=90°,AM=MP,
∴AP=AM,
∴AB+AN=AM.
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【题目】为深入开展校园阳光一小时活动,九年级(1)班学生积极参与锻炼,每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行锻炼,训练后都进行了测试.现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图:
请你根据上面提供的信息回答下列问题:
(1)(扇形图中)跳绳部分的扇形圆心角为 度,该班共有 人;训练后,篮球定时定点投篮每个人进球数的平均数是 ,众数是 ;
(2)老师决定从选择跳绳训练的3名女生和1名男生中任选两名学生先进行测试,请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名女生的概率.
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【题目】如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中有格点△ABC(注:顶点在网格线交点处的三角形叫做格点三角形).只用没有刻度的直尺,按如下要求画图,
(1)以点C为位似中心,在如图中作△DEC∽ABC,且相似比为1:2;
(2)若点B为原点,点C(4,0),请在如图中画出平面直角坐标系,作出△ABC的外心,并直接写出△ABC的外心的坐标
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【题目】调查作业:了解你所住小区家庭3月份用气量情况.
小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有300户家庭,每户家庭人数在2—5之间,这300户家庭的平均人数约为3.3.
小天、小东和小芸各自对该小区家庭3月份用气量情况进行了抽样调查,将收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表1、表2、表3,
表1抽样调查小区4户家庭3月份用气量统计表(单位:)
家庭人数 | 2 | 3 | 4 | 5 |
用气量 | 14 | 19 | 21 | 26 |
表2抽样调查小区15户家庭3月份用气量统计表(单位:)
家庭人数 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 |
用气量 | 10 | 11 | 15 | 13 | 14 | 15 | 17 | 17 | 18 | 18 | 18 | 18 | 18 | 20 | 22 |
表3抽样调查小区15户家庭3月份用气量统计表(单位:)
家庭人数 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 |
用气量 | 10 | 12 | 13 | 14 | 17 | 17 | 18 | 20 | 20 | 21 | 22 | 26 | 31 | 28 | 31 |
根据以上材料回答问题:
(1)小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反应出该小区家庭3月份用气量情况?请简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处;
(2)小东将表2中的数据按用气量大小分为三类;
①节约型:;
②居中型:;
③偏高型:;并绘制成如下扇形统计图,请帮助他将扇形图补充完整;
(3)小芸算出表3中3月份平均每人的用量为,请估计该小区3月份的总用气量.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数 y kx 与 y 的图象交于 A、B 两点,过 A 作 y 轴的垂线,交函数的图象于点 C,连接 BC,则△ABC 的面积为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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【题目】“烟花三月下扬州”-----扬州人杰地灵,是著名的旅游城市,继获“联合国人居奖”后,2019年又获“世界美食之都”的殊荣.“五一”长假期间,某餐饮企业为欢迎外地游客,推出了一个就餐酬宾活动:一只不透明的袋子中装有分别标着A、B、C、D字母的四个球,分别对应扬州的四种美食:A--扬州酱菜、 B--扬州包子、C--扬州老鹅、D--扬州炒饭,这些球除字母标记外其余都相同.游客消费可参与活动:单笔消费满600元可一次摸出一个球获取一种相应的美食,单笔消费满1000元可一次摸出两个球获取两种相应的美食,单笔消费满1300元可一次摸出三个球获取三种相应的美食,单笔消费满1500元可一次获取四项奖品.某游客消费了1200元,参加这个活动,请用树状图或列表的方式列出他获得美食的所有可能结果,并求出获得扬州包子和扬州老鹅的概率.
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【题目】记某商品销售单价为x元,商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元,且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时,他每月均可获得销售利润1800元;当商家将此种商品销售单价定为80元时,他每月可获得销售利润1550元,则y与x的函数关系式是( )
A.y=﹣(x﹣60)2+1825B.y=﹣2(x﹣60)2+1850
C.y=﹣(x﹣65)2+1900D.y=﹣2(x﹣65)2+2000
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【题目】图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上,其中分针上有一点A,当钟面显示3点30分时,分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为10cm.图②表示当钟面显示3点45分时,A点距桌面的高度为16cm,若钟面显示3点55分时,A点距桌面的高度为____.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+(4a﹣1)x﹣4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且OC=2OB,点D为线段OB上一动点(不与点B重合),过点D作矩形DEFH,点H、F在抛物线上,点E在x轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当矩形DEFH的周长最大时,求矩形DEFH的面积;
(3)在(2)的条件下,矩形DEFH不动,将抛物线沿着x轴向左平移m个单位,抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N,连接M、N.若MN恰好平分矩形DEFH的面积,求m的值.
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