Question

【题目】如图，已知点A是直线y=2x+1与反比例函数(x＞0)图象的交点，且点A的横坐标为1．

(1)求k的值；

(2)如图1，双曲线(x＞0)上一点M，若S△AOM=4，求点M的坐标；

(3)如图2所示，若已知反比例函数(x＞0)图象上一点B(3，1)，点P是直线y=x上一动点，点Q是反比例函数(x＞0)图象上另一点，是否存在以P、A、 B、Q为顶点的平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝3（2）M（3，1）或M（，9）（3）Q1（＋2，2），Q2（2，＋2），Q3（，）．

【解析】

（1）点A是直线y＝2x＋1的点，点A的横坐标为1，代入y＝2×1＋1＝3，求得点A即可得到结果；

（2）如图1，设点M（m，），过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，根据题意得：S△AOM＝S梯形AEFM解方程即可得到结果；

（3）首先求得反比例函数的解析式，然后设P（m，m），分若PQ为平行四边形的边和若PQ为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点Q的坐标．

（1）∵点A是直线y＝2x＋1的点，点A的横坐标为1，

∴y＝2×1＋1＝3，

∴A（1，3），

∵点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，

∴k＝3；

（2）如图1，设点M（m，），过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，

当M在A点右侧时，根据题意得：S△AOM＝S梯形AEFM＝（3＋）×（m1）＝4，

解得：m＝3，m=-（负值舍去），

当M在A点右侧时，根据题意得：S△AOM＝S梯形AEFM＝（3＋）×（1m）＝4，

解得：m＝，m=-3（负值舍去），

综上，m＝3或，

故M（3，1）或M（，9）；

（3）∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A（1，3），

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函数的解析式为y＝，

∵点P在直线y＝x上，

∴设P（m，m）

，若PQ为平行四边形的边，

∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，

∴点Q在点P的下方，则点Q的坐标为（m＋2，m2）如图2，

若点Q在点P的上方，则点Q的坐标为（m2，m＋2）如图3，

把Q（m＋2，m2）代入反比例函数的解析式得：（m＋2）（m-2）=3

m＝±，

∵m＞0，

∴m＝，

∴Q1（＋2，2），

同理可得另一点Q2（2，＋2）；

②若PQ为平行四边形的对角线，如图4，

∵A、B关于y＝x对称，

∴OP⊥AB

此时点Q在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y＝的交点，

由解得或（舍去）

∴Q3（，）

综上所述，满足条件的点Q有三个，坐标分别为：Q1（＋2，2），Q2（2，＋2），Q3（，）．