Question

【题目】如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．

（1）求证：△ACQ≌△ADQ；

（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；

（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析，（2）PQ＝OP+CQ，理由见解析，（3））；理由见解析.

【解析】

（1）由正方形的性质及旋转的性质可得到AD＝AC，利用HL即可证得结论；

（2）利用（1）的结论，结合条件可证得△AOP≌△ADP，进一步可求得∠PAQ＝45°，再结合全等可求得PQ＝OP+CQ；

（3）利用矩形的性质可得到BQ＝EQ＝CQ＝DQ，设P（x，0），则可表示出BQ、PB的长，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可得到关于x的方程，则可求得P点坐标．

（1）证明：

∵正方形AOBC绕点A旋转得到正方形ADEF，

∴AD＝AC，∠ADQ＝∠ACQ＝90°，

在Rt△ADQ和Rt△ACQ中

，

∴Rt△ACQ≌Rt△ADQ（HL）；

（2）解：

∵△ACQ≌△ADQ，

∴∠CAQ＝∠DAQ，CQ＝DQ，

在Rt△AOP和Rt△ADP中

，

∴Rt△AOP≌Rt△ADP（HL），

∴∠OAP＝∠DAP，OP＝OD，

∴∠PAQ＝∠DAQ+DAP＝∠DAC+∠DAO＝（∠DAC+∠DAO）＝∠OAC＝45°，

PQ＝PD+DQ＝OP+CQ；

（3）解：四边形BECD可为矩形，如图，

若四边形BECD为矩形，则BQ＝EQ＝CQ＝DQ，

∵BC＝8，

∴BQ＝CQ＝4，

设P点坐标为（x，0），则PO＝x，

∵OP＝PD，CQ＝DQ，

∴PD＝x，DQ＝4，

在Rt△BPQ中，可知PQ＝x+4，BQ＝4，BP＝8﹣x，

∴（x+4）2+42＝（8﹣x）2，解得x＝，

∴P点坐标为（，0）．