Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+ax﹣12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．

（1）求点A、B的坐标；

（2）若BN=MN，且S△MBC=，求a的值；

（3）若∠BMC=2∠ABM，求的值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0），B（3，0）；（2）；（3）.

【解析】

（1）设y=0，可求x的值，即求A，B的坐标；

（2）作MD⊥x轴，由CO∥MD可得OD=3，把x=-3代入解析式可得M点坐标，可得ON的长度，根据S△BMC=，可求a的值；

（3）过M点作ME∥AB，设NO=m，＝k，可以用m，k表示CO，EO，MD，ME，可求M点坐标，代入可得k，m，a的关系式，由CO=2km+m=-12a，可得方程组，解得k，即可求结果．

（1）设y=0，则0=ax2+ax﹣12a （a＜0），

∴x1=﹣4，x2=3，

∴A（﹣4，0），B（3，0）

（2）如图1，作MD⊥x轴，

∵MD⊥x轴，OC⊥x轴，

∴MD∥OC，

∴=且NB=MN，

∴OB=OD=3，

∴D（﹣3，0），

∴当x=﹣3时，y=﹣6a，

∴M（﹣3，﹣6a），

∴MD=﹣6a，

∵ON∥MD

∴，

∴ON=﹣3a，

根据题意得：C（0，﹣12a），

∵S△MBC=，

∴（﹣12a+3a）×6=，

a=﹣，

（3）如图2：过M点作ME∥AB，

∵ME∥AB，

∴∠EMB=∠ABM且∠CMB=2∠ABM，

∴∠CME=∠NME，且ME=ME，∠CEM=∠NEM=90°，

∴△CME≌△MNE，

∴CE=EN，

设NO=m，=k（k＞0），

∵ME∥AB，

∴==k，

∴ME=3k，EN=km=CE，

∴EO=km+m，

CO=CE+EN+ON=2km+m=﹣12a，

即，

∴M（﹣3k，km+m），

∴km+m=a（9k2﹣3k﹣12），

（k+1）×=（k+1）（9k﹣12），

∴=9k-12，

∴k=，

∴.