Question

如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，CF为外角的平分线，AE=EF，求证：AE⊥EF．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据题意，通过作辅助线构造出直角三角形；借助正方形的性质及勾股定理等知识判断出线段BE=FG，进而可以判断出△ABE≌△EGF，问题即可解决．

解答：解：过点F作FG⊥CG于点G
设正方形的边长为a，BE=x，FG=y；
∵四边形ABCD为正方形，且CF为外角平分线，
∴∠FCG=45°，故∠CFG=∠FCG=45°；
∴CG=FG=y，EG=a-x+y；
∵AE=EF，
∴AE²=EF²；
由勾股定理得：AE²=a²+x²，EF²=（a-x+y）²+y²，
故a²+x²=（a-x+y）²+y²，
∵（a-x+y）²+y²=（a-x）²+2（a-x）y+y²+y²
=a²-2ax+x²+2ay-2xy+2y²
=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴a²+x²=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴2（x-y）（a+y）=0，
∵a+y＞0，
∴x-y=0，x=y
在Rt△ABE与Rt△EGF中，

AE=EF BE=FG

，
∴△ABE≌△EGF（HL），
∴∠BAE=∠GEF；
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠GEF=90°，
∴∠AEF=180°-90°=90°，
故AE⊥EF．

点评：考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用等问题；解题的关键是准确把握题意，通过作辅助线构造出一对全等三角形；对综合运用能力提出了较高的要求．