Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）探究线段BC，BD，BO之间的数量关系，并证明；

（3）若DC=2，BC=4，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD2=2BOBC，理由见解析；（3）

【解析】

（1）连接OD，由半径相等得到∠OBD=∠ODB，再由BD为角平分线，得到∠OBD=∠CBD，从而证得∠ODB =∠CBD，OD∥BC，得到∠ODC=90°，即可得证；

（2）BD2=2BOBC，理由为：由三角形EBD与三角形DBC相似，得比例式，将BE换为2BO即可得证；

（3）在直角三角形DBC中，利用勾股定理求出BD的长，根据（2）的关系式求出BO的长，即为OD的长，由OD与BC都与AC垂直，得到OD与BC平行，由平行得比例，即可求出AD的长．

（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵BD为角平分线，

∴∠OBD=∠CBD，

∴∠ODB =∠CBD，

∴OD∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

则AC为圆O的切线；

（2）BD2=2BOBC，

理由为：

∵∠C=∠BDE=90°，∠ABD=∠DBC，

∴△EBD∽△DBC，

∴=，即DB2=EBBC，

∵EB=2BO，

∴BD2=2BOBC；

（3）在Rt△BDC中，BC=4，DC=2，

根据勾股定理得：BD==2，

∴由BD2=2BOBC，得BO=OD==，

∵OD∥BC，

∴=，即=，

解得：AD=．