Question

【题目】在△ABC中，∠A=60°，∠C=75°，AB=8，D、E、F分别在AB、BC、CA上，则△DEF的周长最小值是____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q，连结AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，即可得出△DEF周长的最小值．

解：分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q，连结AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，

则DE=PD，EF=FQ，∠PAQ=2∠BAC=120°，且AP=AE=AQ，

∴∠APQ=30°，∴PQ＝AP．
过点A作AH⊥BC于点H，又∠B=180°-∠BAC-∠C=45°，

∴AH＝ABsinB＝8×sin45°＝4，
△DEF的周长＝DE+DF+EF＝PD+DF+FQ≥PQ＝AP＝AE≥AH＝4．

∴△DEF周长的最小值为4．
故答案为：4．