Question

【题目】如图，已知二次函数的图像经过点，顶点为一次函数 的图像交轴于点是抛物线上-一点，点关于直线的对称点恰好落在抛物线的对称轴直线上（对称轴直线与轴交于点）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求点的坐标；

（3）若点是第二象限内抛物线上一点，关于抛物线的对称轴的对称点是，连接，点是线段上一点，点是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的坐标为：（2，6）或（，）；（3）点G的坐标为：（，6）．

【解析】

（1）直接把点A代入解析式，即可求出解析式；

（2）由题意，设点N的坐标为（，n），连接MN，过点A作AD⊥MN，AD交抛物线与点P，则点D为（，），由AD⊥MN，则，求出n的值，然后求出直线AD的解析式，联合抛物线得到方程组，即可求出点P的坐标；

（3）由题意，设点G为（，），然后得到点E的坐标和直线OG的解析式，由点F在线段OG上，得到点F的坐标，再结合正方形的性质，有，分别求出BF、BE、EF，联立方程组，求出p的值，即可得到点G的坐标．

解：（1）∵二次函数的图像经过点，

∴，

解得：；

∴二次函数的解析式为：．

（2）由（1）知，，

∴顶点B为（，），

∴对称轴为；

在一次函数中，

令，则，

∴点M的坐标为（0，2），

设点N的坐标为（，n），

连接MN，过点A作AD⊥MN，AD交抛物线与点P，如图：

∵点M、N关于直线AP对称，

则AD垂直平分MN，即点D是MN的中点，

∴点D的坐标为（，），

∵，

∴，

∴，

解得：，

∴点D的坐标为（，）或（，），

结合点A（，0），可求得：

直线AD的解析式为：或；

∵抛物线的解析式为，

联合直线AD和抛物线，得

∴或，

解得：，或，；

∵点A的坐标为（，0），

∴点P的坐标为：（2，6）或（，）；

（3）由题意可知，点G在第二象限，且点G在抛物线上，四边形BDEF是正方形，连接BE、DF，如图：

设点G为（p，），

∵点G与点E关于对称，

∴点E为（，）；

设直线OG为，则

，则，

∴直线OG为；

∵点F在线段OG上，则

设点F为（，），点F在第二象限，

∵四边形BDEF是正方形，

∴，

∵点B为（，），

∴，

，

，

联合，

可解得：或，

∵点F在第二象限，则，

∴；

∴

∴点G的坐标为：（，6）．