Question

【题目】如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．

（1）求证：BF=EF：

（2）求证：PA是⊙O的切线；

（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3，求BD的长度.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2

【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；

（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；

（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度．

详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，

∴EB⊥BC.

又∵AD⊥BC，

∴AD∥BE.

∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，

∴=，=，

∴=，

∵G是AD的中点，

∴DG=AG，

∴BF=EF；

(2)连接AO，AB.

∵BC是圆O的直径，

∴∠BAC=90°，

由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，

∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，

又∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO，

∵BE是圆O的切线，

∴∠EBO=90°，

∴∠FBA+∠ABO=90°，

∴∠FAB+∠BAO=90°，

即∠FAO=90°，

∴PA⊥OA，

∴PA是圆O的切线；

（3）过点F作FH⊥AD于点H，

∵BD⊥AD，FH⊥AD，

∴FH∥BC，

由(2)，知∠FBA=∠BAF，

∴BF=AF.

∵BF=FG，

∴AF=FG，

∴△AFG是等腰三角形.

∵FH⊥AD，

∴AH=GH，

∵DG=AG，

∴DG=2HG.

即，

∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，

∴四边形BDHF是矩形，

∴BD=FH，

∵FH∥BC

∴△HFG∽△DCG，

∴，

即，

∴，

∵O的半径长为3，

∴BC=6，

∴BD=＝2.