Question

【题目】如图，抛物线与轴相交于点（﹣1，0）、（3，0），与轴相交于点，点为线段上的动点（不与、重合），过点垂直于轴的直线与抛物线及线段分别交于点、，点在轴正半轴上，=2，连接、．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；

（3）过点的直线将（2）中的平行四边形分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：；(2)点坐标为或；(3) ①当时，所求直线的解析式为：；②当时，所求直线的解析式为：.

【解析】

（1）将点和点的坐标代入抛物线函数中，可求出未知量，.则可求出该抛物线解析式；

（2）由平行四边形的性质可知，，用含未知量的代数式表示的长度．则可得点坐标 ；

（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．求得此直线，首先要求得对称中心的坐标.则两点坐标可确定该直线.

解：（1）点、在抛物线上，

∴，

解得，，

抛物线的解析式为：．

（2）在抛物线解析式中，令x=0，得y=3，
∴C（0，3）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，，将，C坐标代入得：

，

解得k=-1，b=3，

∴．

设E点坐标为（x，-x2+2x+3），则P（x，0），F（x，-x+3），
∴EF=yE-yF=-x2+2x+3-（-x+3）=-x2+3x．
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF=OD=2，
∴-x2+3x=2，即x2-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．

（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与ODEF对称中心的直线平分ODEF的面积．

①当P（1，0）时，
点F坐标为（1，2），又D（0，2），
设对角线DF的中点为G，则，

设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（-1，0），坐标代入得：

解得

∴所求直线的解析式为：

②当P（2，0）时，
点F坐标为（2，1），又D（0，2），
设对角线DF的中点为G，则

设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（-1，0），坐标代入得：

解得

∴所求直线的解析式为：

综上所述，所求直线的解析式为：或．