Question

如图1，在等边△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折至△AED，F为CD上一点，∠AEF=∠AED．

（1）求证：AE=BF+EF；
（2）如图2，M为AE上一点，连接MD、MF，MD=MF，若CD=4，CF=1，求线段AM的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）连接AF，根据三角形中已知两边和夹角求第三边即可求得EF=FC，即可解题；
（2）根据余弦定理可以求得DE，EM的大小关系，根据DE，EM的大小关系，可以求得AM的长，即可解题．

解答：（1）证明：连接AF，
∵AF²=AC²+CF²-2AC•CF•cosC，
AF²=AE²+EF²-2AE•EF•cos∠AEF，
AE=AB=AC，∠AEF=∠AED=∠C=60°
∴EF=CF，
∴AE=AB=BC=BF+FC=BF+EF．
（2）解：∵DM²=DE²+EM²-2DE•EM•cos60°，
FM²=EF²+EM²-2EF•EM•cos60°，
设DE=x，EM=y，则x²+y²-xy=1+y²-y，
x²-1-（x-1）y=0，
（x-1）（x+1-y）=0，
∴x=1（舍去），y=x+1，
AM=AE-EM=BC-y=BD+4-y=x+4-（x+1）=3．

点评：本题考查了三角形中余弦定理的使用，考查了折叠问题的求证，本题中求得DE，EM的大小关系是解题的关键．