Question

6．在一条公路的同侧有两个村庄A，B，若在公路上建一个加油站P，使得加油站到两个村庄的距离之和最小，即PA+PB最小．设公路为x轴，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5）．
（1）求PA+PB的值；
（2）求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B交x轴于P，此时PA+PB最小，过点B作BC⊥OA，在直角三角形BCA′中利用勾股定理求出A′B的长即可；
（2）用待定系数法求出直线A′B的解析式，然后求出直线与x轴的交点即可．

解答 解：作A关于x轴的对称点A′，
连接A′B交x轴于P，
则点P就是使得加油站到两个村庄的距离之和最小，即PA+PB最小的点，
A′B的长度即为PA+PB的最小值，
过点B作BC⊥OA，
∵点B（6，5），
∴CO=5，BC=6，
∴CA′=8，
∴A′B=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
即PA+PB的最小值=10；

（2）∵A（0，3），
∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（0，-3），
∵A′（0，-3），B（6，5），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=6k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴直线A′B的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-3，
当y=0时，x=$\frac{9}{4}$
∴P（$\frac{9}{4}$，0）．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题以及勾股定理的运用，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．