Question

12．三角形的一个顶点与对边中点的连线称三角形的中线，这条中线关于这个顶角的平分线对称的直线称为三角形的共轭中线，对于共轭中线下列说法正确的序号是（　　）
①等腰三角形底边上的共轭中线就是它的高；
②直角三角形斜边上的高线就是斜边的共轭中线；
③钝角三角形最大边上的共轭中线就是它的高；
④△ABC中，若AM为BC边上的中线，AD为BC边上的共轭中线，则∠BAM=∠CAD．

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据三角形的角平分线、中线和高的定义以及翻折变换的性质进行判断即可．

解答 解：∵等腰三角形底边上的中线、高、角平分线“三线合一”，
∴等腰三角形底边上的共轭中线就是它的高，①正确；
如图1，∠BAC=90°，AM是BC边上的中线，
∴MA=MB，
∴∠BAM=∠A，
由题意和翻折变换的性质可知，∠BAM=∠CAD，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，即DA⊥BC，
则直角三角形斜边上的高线就是斜边的共轭中线，②正确；
③错误；
如图2，作∠BAC的平分线AG，
则∠BAG=∠CAG，
由翻折变换的性质可知，∠MAG=∠DAG，
∴∠BAM=∠CAD，④正确，
故选B．

点评 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．