Question

3．如图，已知：在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），a＜0，b＞0．
（1）若点C在y轴上且有|a+4|+（b-2）²=0，△ABC的面积为18，求C点的坐标；
（2）若C点在第一象限运动，CA交y轴于G点，CB的延长线交y轴于D点，E点为B点关于y轴的对称点，DE的延长线交AC于F点，
①当∠DFC=∠C+70°时，求∠BAC的度数；
②将线段DC平移，使其经过A点得线段NK，过A的直线AM交y轴与M，交CD延长于H点，当满足∠CAH=∠CHA时，$\frac{∠AMO}{∠DFC}$求值．

Answer 1

分析 （1）利用偶次方以及绝对值的性质得出A，B点坐标，再利用三角形面积求法得出C点坐标；
（2）①利用三角形外角的性质得出∠BAC+∠BAC+∠C=∠DFC，进而得出∠CBA+∠CAB+∠C=∠C+70°求出即可；
②结合已知利用三角形外角的性质得出：∠CFD=180°-∠C-2∠ODB，∠DMA=∠AMO=90°-$\frac{1}{2}$∠C-∠ODB，进而得出答案．

解答 解：（1）如图1所示：
∵|a+4|+（b-2）²=0，
∴a=-4，b=2，
∴A（-4，0），B（2，0），
∵点C在y轴上，△ABC的面积为18，
∴AB=6，则CO=6，
∴C（0，6）或（0，-6）；

（2）①如图（1），

在△ABC中，∠EBD=∠CAB+∠C，
∵OE=OB，∠BED=∠EBD，
∴∠BED=∠CAB+∠C，
又∵∠AEF=∠BED，
∴在△AFE中，∠BAC+∠AEF=∠DFC，
∴∠BAC+∠BAC+∠C=∠DFC，
又∵∠DFC=∠C+70°，
∠CBA+∠CAB+∠C=∠C+70°，
∴∠BAC=35°；

②如图（2），

在△CFD中，∵E点为B点关于y轴的对称点，
∴∠EDB=∠ODB，
∴∠CFD=180°-∠C-2∠ODB，
在△DMH中，∠DMA=∠CHA-∠ODB，
在△CAH中，∠CHA=$\frac{180°-∠C}{2}$，
∠DMA=90°-$\frac{1}{2}$∠C-∠ODB，
∵∠CFD=180°-∠C-2∠ODB
∠DMA=∠AMO=90°-$\frac{1}{2}$∠C-∠ODB，
∴$\frac{∠AMO}{∠DFC}$=$\frac{90°-\frac{1}{2}∠C-∠ODB}{180°-∠C-2∠ODB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了几何变换综合以及偶次方以及绝对值的性质、三角形面积求法、三角形的外角等知识，熟练应用三角形外角的性质得出是解题关键．