Question

15．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足|a+b-4|+（2a+4）²=0．
（1）求OA，OB的长度；
（2）若P从点B出发沿着射线BO方向（点P不与原点重合），速度为每秒2个单位长度，连接AP，设点P的运动时间为t，△AOP的面积为S，请你用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，当S=4时，在一、三象限角平分线上是否存在一点M（点M不与原点重合），使得PM⊥AM？若存在，求M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据解方程组，可得a、b的值；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据互相垂直两直线的一次项系数的乘积为-1，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由a，b满足|a+b-4|+（2a+4）²=0，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b-4=0}\\{2a+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
OA=|a|=2，OB=|b|=6；
（2）如图：

BP=2t，OP=OB-BP=b-2t=6-2t，OA=2，
S=$\frac{1}{2}$OP•OA=$\frac{1}{2}$×2×（6-2t）=6-2t；
（3）不存在M点使PM⊥AM，理由如下：
设M（a，a），假设PM⊥AM，
当S=4时，2t=4，解得t=2，
P（0，2），A（-2，0）．
由PM⊥AM，得$\frac{a-2}{a}$•$\frac{a-0}{a+2}$=-1．
解得a=0，
即M点坐标为（0，0），
∵M点原点不重合，
∴M点不存在．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了解方程得出a、b的值，三角形的面积公式，利用互相垂直两直线的一次项系数的乘积为-1得出关于a的方程是解题关键．