Question

10．已知直线y=$\frac{3}{4}$x+3分别交x轴、y轴于点A、B．
（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）
（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作EF⊥AB于点F，根据直线y=$\frac{3}{4}$x+3分别交x轴、y轴于点A、B，分别求出A、B的坐标，以及AB的长度各是多少；然后设EF=EO=x，则BE=3-x，BF=1，再根据勾股定理，可得BE²=EF²+BF²，据此求出x的值是多少，即可确定出∠BAO的平分线的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形．根据题意，分3种情况：①当AN、OM是菱形ANMO的两条对角线时；②当AO、MN是菱形ANMO的两条对角线时；③当AM、ON是菱形ANMO的两条对角线时；然后根据菱形的特征，分别求出点N的坐标各是多少即可．

解答 解：（1）如图1，

AE为∠BAO的平分线，交y轴于点E，作EF⊥AB于点F，
∵直线y=$\frac{3}{4}$x+3分别交x轴、y轴于点A、B，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
设EF=EO=x，
则BE=3-x，BF=AB-AF=AB-AO=5-4=1，
∵BE²=EF²+BF²，
∴（3-x）²=x²+1²，
解得$x=\frac{4}{3}$，
∴点E的坐标是（0，$\frac{4}{3}$），
设AE的函数关系式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
∴∠BAO的平分线的函数关系式是y=$\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$（x≥-4）．

（2）存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形．
①如图2，

∵四边形OAMN为菱形，
∴ON∥AB，ON=AO=4，
∵AB所在的直线的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+3，
∴ON所在的直线的解析式是y=$\frac{3}{4}$x，
设点N的坐标为（m，$\frac{3}{4}m$），
则m²+（$\frac{3}{4}$m）²=4²，
解得m=±$\frac{16}{5}$，
∴点N的坐标为（$\frac{16}{5}，\frac{12}{5}$）或（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．

②如图3，

当AO是菱形ANOM其中的一条对角线时，
∵点A的坐标为（-4，0），
∴MN所在的直线的解析式是x=-2，
当x=-2时，
$\frac{3}{4}×（-2）+3$=-$\frac{3}{2}$+3=$\frac{3}{2}$，
∴点N的坐标为（-2，-$\frac{3}{2}$）．

③如图4，

设点N的坐标为（m，n），
当AM、ON是菱形ANMO的两条对角线时，
∵AM⊥ON，
∴$\frac{n}{m}=-\frac{4}{3}$…（1），
∵ON的中点P在直线AB上，
∴$\frac{n}{2}=\frac{3}{4}×\frac{m}{2}+3$…（2），
由（1）（2），
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{72}{25}}\\{n=\frac{96}{25}}\end{array}\right.$
∴点N的坐标为$（-\frac{72}{25}，\frac{96}{25}）$．
综上，可得点N的坐标为 $（\frac{16}{5}，\frac{12}{5}）$，$（-\frac{16}{5}，-\frac{12}{5}）$，$（-2，-\frac{3}{2}）$或$（-\frac{72}{25}，\frac{96}{25}）$．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．