Question

10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）52和2015这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续的偶数为2k和2k+2（其中k为非负数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是“神秘数”吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据相邻两个偶数的平方差，可得答案；
（2）根据相邻两个偶数的平方差，神秘数的定义，可得答案；
（3）根据相邻两个奇数的平方差，神秘数的定义，可得答案．

解答 解：（1）设（2k+2）²-（2k）²=52，解得k=6，
52是神秘数；
（2k+2）²-（2k）²=2015，
解得k=$\frac{2011}{8}$，
2015不是神秘数；
（2）两个连续的偶数为2k和2k+2（其中k为非负数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，
理由如下：
（2k+2）²-（2k）²=8k+4=4（2k+1），
两个连续的偶数为2k和2k+2（其中k为非负数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数；
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）不是“神秘数”，理由如下：
（2k+1）²-（2k-1）²=8k，又神秘数为4的倍数，而不是8的倍数；
故两个连续奇数的平方差（k取正数）不是“神秘数”．

点评 本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键．