Question

17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=1，AC=3，BD=4，求BC的长及梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 过D作DE∥AC，交BC的延长线于E，得出四边形ACED是平行四边形，DE=AC，CE=AD，DE⊥BD，根据勾股定理求出BE，即可得出BC；由对角线互相垂直，得出梯形的面积=两条对角线长乘积的一半．

解答 解：过D作DE∥AC，交BC的延长线于E，如图所示：
∵AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=4，CE=AD=1，
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴BC=BE-CE=4，
∵AC⊥BD，
∴梯形ABCD的面积=△BDE的面积=$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

点评 本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的运用以及梯形面积的计算；通过作辅助线得出平行四边形和直角三角形是解决问题的关键．