Question

12．如图所示，由1开始连续自然数组成，观察规律，并完成以下各题．
（1）图中第8行最后一个数是64，它是自然数8的平方，第8行共有15个数．
（2）用含n代数式表示：第n行第一个数是n²-2n+2，最后一个数是n²，第n行共有2n-1个数．
（3）n=10时，求第10行各数之和．

Answer 1

分析 （1）数为自然数，每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，最后一数为行数的平方，很容易得到所求之数；
（2）知第n行最后一数为n²，则第一个数为n²-2n+2，每行数由题意知每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，故个数为2n-1；
（3）通过以上两步列公式代入求值，从而解得．

解答 解：（1）由题意知每行最后一数是行数的平方，
所以第8行最后一个数是该行数8的平方即得64，
每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，则第8行共有15个数；
（2）由（1）知第n-1行最后一数为（n-1）²，第n行第一个数比它大1，
故第n行第一个数为：（n-1）²+1，即n²-2n+2；
最后一数为：n²
每行数由题意知每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，故个数为2n-1；
（3）第n行各数之和：$\frac{{n}^{2}-2n+2+{n}^{2}}{2}×（2n-1）$=（n²-n+1）（2n-1）
当n=10时，（n²-n+1）（2n-1）=（10²-10+1）×（2×10-1）=1729．
故答案为：（1）64，8，15；
（2）n²-2n+2，n²，2n-1．

点评 本题考查了数字的规律，（1）看数的规律，自然数的排列，每排个数1，3，5，…从而求得；（2）最后一数是行数的平方，则第一个数即求得；（3）通过以上两步列公式从而解得，本题看规律为关键．