【题目】如图,在长方形ABCD中,AB=8,AD=10,点E为BC上一点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在长方形内点F处,且DF=6.
(1)试说明:△ADF是直角三角形;
(2)求BE的长.
【答案】(1)见解析;(2)BE=4.
【解析】
(1)由折叠的性质可知AF=AB=8,然后再依据勾股定理的逆定理可证明△ADF为直角三角形;
(2)由题意可证点E、D、F在一条直线上,设BE=x,则EF=x,DE=6+x,EC=10-x,在Rt△CED中,依据勾股定理列方程求解即可.
(1)将△ABE沿AE折叠,使点B落在长方形内点F处,
∴AF=AB=8,
∵AF2+DF2=62+82=100=102=AD2,
∴∠AFD=90°
∴△ADF是直角三角形
(2)∵折叠
∴BE=EF,∠B=∠AFE=90°
又∵∠AFD=90°
∴点D,F,E在一条直线上.
设BE=x,则EF=x,DE=6+x,EC=10-x,
在Rt△DCE中,∠C=90°,
∴CE2+CD2=DE2,
即(10-x)2+82=(6+x)2.
∴x=4.
∴BE=4.
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【题目】在平面直角坐标系中,点,,点C为x轴正半轴上一动点,过点A作交y轴于点E.
如图,若点C的坐标为,试求点E的坐标;
如图,若点C在x轴正半轴上运动,且, 其它条件不变,连接DO,求证:OD平分
若点C在x轴正半轴上运动,当时,求的度数.
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【题目】小明和同桌小聪在课后复习时,对练习册“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真地探索.
(思考题)如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:
解:设点B将向外移动x米,即BB1=x,
则A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中,由B1C2+A1C2=A1B12,
得方程___________________,解方程,得x1=____,x2=______________,∴点B将向外移动____米.
(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:
(问题一)在“思考题”中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?
(问题二)在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?为什么?
请你解答小聪提出的这两个问题.
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【题目】如图1,直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上,∠EDF=30°,∠ABC=40°,CD平分∠ACB,将△DEF绕点D按逆时针方向旋转,记∠ADF为α(0°<α<180°),在旋转过程中;
(1)如图2,当∠α= 时,,当∠α= 时,DE⊥BC;
(2)如图3,当顶点C在△DEF内部时,边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N,
①此时∠α的度数范围是 ;
②∠1与∠2度数的和是否变化?若不变求出∠1与∠2度数和;若变化,请说明理由;
③若使得∠2≥2∠1,求∠α的度数范围.
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【题目】如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线a、b、c上,且a、b之间的距离为1,b、c之间的距离为2,则AC2=( )
A.13B.20C.25D.26
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【题目】已知直线y=-x+6和反比例函数y=(k≠0)
(1)k满足什么条件时,这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点?
(2)设(1)的两个公共点分别为A、B,∠AOB是锐角还是钝角?
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【题目】如图,△ABC在直角坐标系中,
(1)请写出△ABC各点的坐标.
(2)求出△ABC的面积.
(3)若把△ABC向上平移2个单位,再向右平移2个单位得到△A′B′C′,请在图中画出△A′B′C′,并写出点A′、B′、C′的坐标.
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【题目】为了了解全校3000名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况,在全校范围内随机抽取了若干名同学,对他们喜爱的项目(每人选一项)进行了问卷调查,将数据进行了统计,并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整),请回答下列问题:
(1)在这次问卷调查中,一共抽查了____名同学;
(2)补全条形统计图;
(3)估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数;
(4)学校准备从随机调查喜欢跑步和喜欢舞蹈的同学中分别任选一位参加课外活动总结会.若被随机调查的同学中,喜欢跑步的男生有3名,喜欢舞蹈的女生有2名,请用列表或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.
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【题目】一辆汽车在公路上匀速行驶,看到里程表上是一个两位数,小时后其里程表还是一个两位数,且刚好它的十位数字与个位数字与第一次看到的两位数的十位数字与个位数字颠倒了位置,又过了小时后看到里程表是一个三位数,它是第一次看到的两位数中间加一个,则汽车的速度是________千米小时.
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