[题目]如图1.直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上.∠EDF＝30°.∠ABC＝40°.CD平分∠ACB.将△DEF绕点D按逆时针方向旋转.记∠ADF为α(0°＜α＜180°).在旋转过程中,(1)如图2.当∠α＝时..当∠α＝时.DE⊥BC,(2)如图3.当顶点C在△DEF内部时.边DF.DE分别交BC.AC的延长线于点M.N.①此时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；

（1）如图2，当∠α＝　　时，，当∠α＝　　时，DE⊥BC；

（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，

①此时∠α的度数范围是　　；

②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由；

③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．

【答案】（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1与∠2度数的和不变，理由见解析③55°＜α≤60°．

【解析】

（1）当∠EDA＝∠B＝40°时，，得出30°＋α＝40°，即可得出结果；当时，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出结果；
（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，当点C在DE边上时，α＋30°＝85°，解得α＝55°，当点C在DF边上时，α＝85°，即可得出结果；
②连接MN，由三角形内角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，则∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形内角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出结论；
③由，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°∠2），解得∠2≥40°，由三角形内角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，则∠2＝100°α，得出100°α≥40°，解得α≤60°，再由当顶点C在△DEF内部时，55°＜α＜85°，即可得出结果．

解：（1）∵∠B＝40°，

∴当∠EDA＝∠B＝40°时，，

而∠EDF＝30°，

∴，

解得：α＝10°；

当时，DE⊥AB，

此时∠A+∠EDA＝180°，

，

∴，

解得：α＝100°；

故答案为10°，100°；

（2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝45°，∠A＝50°，

∴∠CDA＝85°，

当点C在DE边上时，，

解得：，

当点C在DF边上时，，

∴当顶点C在△DEF内部时，；

故答案为：；②∠1与∠2度数的和不变；理由如下：

连接MN，如图所示：

在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，

∴∠CNM+∠CMN＝90°，

在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，

即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，

∴；

③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，

∴，

∴∠2≥40°，

∵，

即，

∴，

解得：α≤60°，

∵当顶点C在△DEF内部时，，

∴∠α的度数范围为．

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