Question

【题目】（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为　 　°．

（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．

（画一画）

如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

（算一算）

如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D的长；

（验一验）

如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）23；（2）【画一画】画图见解析；【算一算】DB′ =3；【验一验】小明的判断不正确，理由见解析.

【解析】

（1）根据矩形性质可得AD∥BC，从而可得∠ADB=∠DBC=46°，再根据翻折的性质即可求得∠DBE的度数；

（2）画一画：连接CE并延长交BA的延长线与点G，利用尺规作图画出∠BGC的角平分线即可得抓痕MN；

算一算：由已知可得GD=，根据矩形的性质及翻折的性质可得∠DFG=∠DGF，从而可得DF=DG=，在Rt△CDF中，根据勾股定理可求得CF=，根据BF=BC﹣CF求得BF的长，再根据翻折的性质继而可求得DB′的长即可；

验一验：如图4中，小明的判断不正确，连接ID，根据勾股定理求出CK长，根据已知可证明△CDK∽△IB′C，从而可得，设CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，根据折叠的性质可求得k=1，继而可得IC=5，IB′=4，B′C=3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC=，连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC=，从而知tan∠B′IC≠tan∠DIC，判断出B′I所在的直线不经过点D即可得.

（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=46°，

由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°，

故答案为：23；

（2）画一画：如图2中，

算一算：如图3中，

∵AG=，AD=9，

∴GD=9﹣=，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DGF=∠BFG，

由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，

∴∠DFG=∠DGF，

∴DF=DG=，

∵CD=AB=4，∠C=90°，

∴在Rt△CDF中，CF==，

∴BF=BC﹣CF=，

由翻折不变性可知，FB=FB′=，

∴DB′=DF﹣FB′=﹣=3；

验一验：如图4中，小明的判断不正确，

理由：连接ID，在Rt△CDK中，∵DK=3，CD=4，

∴CK==5，

∵AD∥BC，

∴∠DKC=∠ICK，

由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90°，

∴∠IB′C=90°=∠D，

∴△CDK∽△IB′C，

∴，即，

设CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，

由折叠可知，IB=IB′=4k，

∴BC=BI+IC=4k+5k=9，

∴k=1，

∴IC=5，IB′=4，B′C=3，

在Rt△ICB′中，tan∠B′IC=，

连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC=，

∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，

∴B′I所在的直线不经过点D．