Question

【题目】已知：如图，直线交坐标轴于A、C两点，抛物线过A、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC是否存在最大值，若存在，请求出△APC取最大值以及点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，△PAC的面积最大值为，点P的坐标为（，）；（3）点M的坐标为：或或（，）或（，）．

【解析】

（1）由一次函数解析式求得A、C两点的坐标，然后代入到二次函数解析式，用待定系数法求解；

（2）过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，直线PQ，AC交于点P，设点P的坐标为（，），则点D的坐标为（，），根据两点间距离公式求得PD =，然后根据三角形面积公式求得==，由此根据二次函数的性质分析最值；

（3）分情况讨论：当点M在对称轴左侧时，构造矩形EFCG，设点M的坐标为（，），利用AAS定理证明△MEN≌△CFM，然后结合抛物线对称轴求得MF==，NE=，从而列方程求解；作MF⊥y轴，垂足为F，MF交对称轴于点E；设点M的坐标为（，），则ME= ，CF= ，然后列方程求解；当点M在对称轴的右侧时，过点M作EF∥x轴，分别交对称轴与y轴于点E和点F．设点M的坐标为（，），然后结合抛物线对称轴求得ME= =，CF= = ，然后列方程求解；作ME⊥对称轴，垂足为E，ME交NC，交点为F．设点M的坐标为（，），则ME= ，CF= ，然后列方程求解．

解：（1）交x轴于A（-3，0），交y轴于C（0，-3），

∵抛物线经过点A（-3，0），点C（0，-3），

∴，解得，

∴抛物线解析式为：；

（2）如图2，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，直线PQ，AC交于点P，

设点P的坐标为（，），则点D的坐标为（，），

∴线段PD的长为：（）-（）=，

∵，，

∴====，

∵，∴当时候，△PAC的面积又最大值，最大值为，

此时点P的坐标为（，）；

（3）①如图3，当点M在对称轴左侧时，构造矩形EFCG，设点M的坐标为（，），

∵△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形

∴∠NME+∠CMF=90°，∠FCM+∠CMF=90°

∴∠NME=∠FCM

又∵∠E=∠F=90°，MN=MC

∴△MEN≌△CFM，

∵抛物线的对称轴为直线x=-1，

∴MF==，NE=，

∵MF=NE，∴，

解得（舍），，

故点M的坐标为；

②如图6，作MF⊥y轴，垂足为F，MF交对称轴于点E；

设点M的坐标为（，），则ME= ，CF= ，

由①同理可证△MNE≌△CFM，

∵ME=CF，故，

解得：（舍），，

故点M的坐标为（，）；

③如图5，当点M在对称轴的右侧时，过点M作EF∥x轴，分别交对称轴与y轴于点E和点F．

设点M的坐标为（，），

由①同理可证△MEN≌△MFC，抛物线对称轴为直线x=-1，

则ME= =，CF= = ，

∵ME=CF，∴，解得：（舍），，

故的点M的坐标 为；

④如图4，作ME⊥对称轴，垂足为E，ME交NC，交点为F．

设点M的坐标为（，），则ME= ，CF= ，

由①同理可证△MNE≌△CFM，

∵ME=CF，故，

解得：，（舍），

故点M的坐标为（，）；

综上可得点M的坐标为：或或（，）或（，）．