Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作⊙O的切线交AC于点E．

（1）证明：DE⊥AC．

（2）若BC＝8，AD＝6，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AE＝．

【解析】

（1）连接OD，根据DE是⊙O的切线，可得∠ODE＝90°，由AC＝BC，可得∠OBD＝∠A，进而可得∠A＝∠ODB，可得OD∥AC，即可证明结论；

（2）连接CD，根据BC为直径，证明△ADE∽△ACD，对应边成比例即可求出AE的长．

解：（1）如图，连接OD，

∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE＝90°，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∵AC＝BC，

∴∠OBD＝∠A，

∴∠A＝∠ODB，

∴OD∥AC，

∴∠DEC＝90°，

即DE⊥AC．

（2）连接CD，

∵BC为直径，

∴∠BDC＝∠CDA＝90°，

∴∠DEA＝∠CDA＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ACD，

∴，即，

∴AE＝．