Question

【题目】若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．

（1）列表：

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	3	m	1	0	1	2	1	n		…

其中，m＝　 ，n＝　 　．

（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．

（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点A（，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1　 y2，x1　 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值y＝1时，求自变量x的值；

（4）若直线y＝﹣x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2，；（2）如图所示，见解析；（3）①＞，＞；②x＝0或x＝﹣2或x＝2；（4）﹣1＜b＜2或b＞3．

【解析】

（1）将x=﹣3代入y＝|x+1|得m的值；将x＝3代入y＝中得n的值；

（2）用平滑的曲线连接坐标系中描的点可得；

（3）A与B在y＝上，C与D在y＝|x﹣1|上，分别根据函数增减性判断；

（4）如下图，求解出直线y＝﹣x+b与函数图象有一个交点的临界点，从而得出b的取值范围．

（1）x＝﹣3代入y＝|x+1|得，y＝2，

∴m＝2，

把x＝3代入y＝中得，y＝，

∴n＝，

故答案为2，；

（2）如图所示：

（3）由图象可知A与B在y＝上，y随x的增大而减小，所以y1＞y2；

C与D在y＝|x﹣1|上，所以x1＞x2；

故答案为＞，＞；

②当y＝1时，x≤1时，有1＝|x+1|，

∴x＝0或x＝﹣2，

当y＝1时，x＞1时，有1＝，

∴x＝2，

故x＝0或x＝﹣2或x＝2；

（4）∵函数解析式为：y＝，图像如下

当直线y＝﹣x+b在向右平移的过程中，如下图，与函数的交点个数是在变化的：

由图形可知，当直线向右平移过程中，直线与函数交点个数为：①0个，②然后变为1个，③然后变为2个，④然后又变为1个

我们分别求出①②、②③、③④之间的临界点即可

有图形可知，①②之间的临界点为：x=－1

我们求出直线与函数有2个交点的情况：

联立解析式得：

当△＞0时，即直线与函数有两个个交点

△＞

解得b＞2或b＜－2

故而﹣1＜b＜2时，直线与含有有且仅有一个交点

还存在一种情况：如下图

由上面分析可知当b＞2时，直线是与函数有2个交点的

但是反比例函数的取值范围为x＞1的部分

∴如上图，反比例函数是点A(1，2)右侧的部分

∴当直线y=－x+b从A点继续向右平移时，直线与反比例函数仅有一个交点

将点A代入直线得：2=－1+b，解得：b=3

∴当b＞3时，直线与函数也仅有一个交点

综上得，﹣1＜b＜2或b＞3．