Question

【题目】如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（　　）个．

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

令y=0，求得A点坐标，B点用字母k表示的坐标，再把抛物线的解析式化成一般形式，则可用a与k的代数式表示OC，进而根据sin∠CBA=，用a与k的代数式表示BC，在由勾股定理得出a与k的方程，求得a的值，再根据△AOC的周长为12，求得k的值，则题目中的问题便可解决．

令y＝0，则y＝a（x+3）(x﹣k）＝0，

解得x＝﹣3或k，

∴A(﹣3,0），B(k,0），

故①正确；

∵y＝a（x+3）（x﹣k）＝ax2+（3a﹣ak）x﹣3ak，

∴C（0,﹣3ak），

∴OC＝﹣3ak，

∵sin∠CBA＝，

∴，

∴BC＝，

∵BC2﹣OC2＝OB2，

∴45a2k2﹣9a2k2＝k2，

∴a2＝，

∵抛物线的开口向下，

∴a＝﹣，

故②正确；

∴OC＝k，

∴AC＝，

∵△AOC的周长为12，

∴3+k+＝12，

解得，k＝8，

∴B（8,0），

故③正确；

∵A（﹣3,0），B（8,0），

∴对称轴为：x＝，

故④正确．

综上所述①②③④都正确

故选：A．