Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E,点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；

（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）t＝时，△PAE的面积最大，最大值是；（3）t的值为1或．

【解析】

（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EA的解析式，作PM∥y轴，交直线AE于点M，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PAE的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值即可；

（3）由题意可知有∠PAE＝90°或∠APE＝90°两种情况，当∠PAE＝90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE＝90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

解：（1）由题意得：，

解得：，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵A（0，3），D（2，3），

∴抛物线对称轴为x＝1，

∴E（3，0），

设直线AE的解析式为y＝kx+3，

∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，

∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，

如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），

∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，

∴＝＝，

∴t＝时，△PAE的面积最大，最大值是．

（3）由图可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，

①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA＝45°，

∴∠PAG＝∠APG＝45°，

∴PG＝AG，

∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），

②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，

则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，

∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°，

∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，

∴△PKE∽△AQP，

∴，

∴，

即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），

综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．