Question

若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积相等，则称此三角形为“和谐直角三角形”，求“和谐直角三角形”的三边长．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：设直角三角形两直角边分别为x、y，利用勾股定理表示出斜边，再根据三角形的周长和面积相等列出方程整理得到x、y的关系式，再根据x、y都是正整数讨论求解．

解答：解：设直角三角形两直角边分别为x、y，
由勾股定理得，斜边=

x2+y2

，
∵周长与面积相等，
∴x+y+

x2+y2

=

1

2

xy，
∴

x2+y2

=

1

2

xy-x-y，
两边平方得，x²+y²=

1

4

x²y²+x²+y²+2xy-x²y-xy²，
∴y=

4(x-2)

x-4

，
∵x、y都是正整数，
∴x=5时，y=12，斜边为13，
x=6时，y=8，斜边为10，
x=8时，y=6，斜边为10，
x=12时，y=5，斜边为13，
故“和谐直角三角形”的三边长为6、8、10或5、12、13．

点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟记定理并表示出两直角边的关系是解题的关键．