Question

如图，两个同心圆的圆心为O，两圆的半径分别为5，3，其中A，B两点在大圆上，C，D在小圆上，且∠AOB=∠COD．
（1）求证：AC=BD；
（2）若∠AOB=120°，求线段AC，弧CD，线段BD，弧AB组成的封闭图形的面积；
（3）若AB与小圆相切，分别求AB，CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如要证明AC=BD，则通过可证明△AOC≌△BOD即可；
（2）由题意可知线段AC，弧CD，线段BD，弧AB组成的封闭图形的面积，即为扇形AOB的面积，即为△ACO绕O旋转120度后，AC扫过的面积；
（3）切点为E，连接OE，首先利用勾股定理可求出BE的长，进而求出AB的长，再证明△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质即可求出CD的长．

解答：（1）证明：在△AOC和△BOD中，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，OC=OD，
在△AOC和△BOD中，

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
                              
（2）解：封闭图形的面积=

120

360

×16π=

16π

3

．   

（3）解：设切点为E，连接OE，
∵AB与小圆相切，
∴OE⊥AB，AB=2BE
由勾股定理得，BE=4，
∴AB=8．                                 
∵∠AOB=∠COD，

OA

OC

=

OB

OD

，
∴△AOB∽△COD，
∴

AB

CD

=

OA

OC

=

5

3

∴CD=

24

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等．