Question

如图，已知在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，以此扇形为侧面，圆为底面围成一个圆锥，求此圆锥的表面积．

Answer 1

考点：圆锥的计算

专题：

分析：根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系，利用a表示出扇形的半径和底面圆半径，利用扇形面积公式求解．

解答：解：∵恰好围成图所示的一个圆锥模型，设扇形的半径是R，圆的半径是r．
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴

90πR

180

=2πr，
解得：R=4r，
则

2

2

（R+r）+r=a，
解得：r=

2 a

5

，R=

4 2 a

5

．
则圆锥的侧面积是：

90π( 4 2 a 5 )2

360

=

8πa2

25

，底面圆的面积是：π（

2 a

5

）²=

2πa2

25

，
则圆锥的表面积是：

8πa2

25

+

2πa2

25

=

10πa2

25

=

2πa2

5

．

点评：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是利用题目已知条件得到扇形的弧长和圆的周长之间的关系，并利用其列出关系式．