Question

如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F
（1）求证：CE=CF；
（2）求线段EF的最小值；
（3）当点D从点A运动到点B时，试求线段EF扫过的面积（直接写出结果）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）设ED交AC于点G，则点G为ED中点，可证得AC∥DF，得出C为EF中点；
（2）由（1）可知EF=2CD，当CD⊥AB是有最小值，可求得EF的最小值；
（3）当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，可求出结果．

解答：（1）证明：如图1，设AC于点DE交于点G，则EG=DG，且ED⊥AC，

∵DF⊥DE，
∴∠EGC=∠EDF=90°，
∴AC∥DF，且G为ED中点，
∴EC=FC；

（2）解：由（1）知，EF=2CD，
∴当线段EF最小时，线段CD也最小，
根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小，
∵AB是半圆O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴AC=4，BC=4

3

，
当CD⊥AD时，CD=

1

2

BC=2

3

，
此时EF=2CD=4

3

，
即EF的最小值为4

3

；

（3）解：当点D从点A运动到点B时，如图2，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，

由（2）知AC=4，BC=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

•AC•BC=

1

2

×4×4

3

=8

3

，
∴线段EF扫过的面积是16

3

．

点评：本题主要考查圆周角定理及轴对称的性质、勾股定理等知识的综合应用，在第（2）中把EF的值转化成CD的值、在第（3）中确定出EF扫过的面积与△ABC的关系是解题的关键．