Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，D是AB中点，E是BC边上的动点，圆O过C、D、E三点，与AC边交于点F．
（1）求线段EF长的最小值；
（2）当圆O与AB边相切时，求圆O的半径；
（3）求线段CF长的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）先利用勾股定理计算出AB=10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=

1

2

AB=5，由于∠FCE=90°，根据圆周角定理得EF为⊙O的直径，然后利用CD为定值确定⊙O的最小直径为5，由此得到EF的最小值；
（2）如图1，作CH⊥AB于H，OP⊥CD于P，利用面积法计算出CH=

24

5

，再根据垂径定理得到PD=

1

2

CD=

5

2

，然后利用切线的性质得到OD⊥AB，则OD∥CH，根据平行线的性质有∠1=∠2，于是可证明Rt△ODP∽Rt△DCH，再利用相似比即可计算出OD的长；
（3）根据圆内接四边形的性质由∠ECF=90°得到∠EDF=90°，即DE⊥DF，利用图形得到当点E在B点时，CF最短；当点C在E点时，CF最长，接着分别计算CF的最小和最大值：如图2，点E在B点，则DF⊥AB，根据相似三角形的判定易得△ADF∽△ACB，则利用相似比可计算出AF=

25

4

，则此时CF=AC-AF=

7

4

；如图3，点C在E点，连结OD，根据圆周角定理由∠EDF=90°得到CF为⊙的直径，则证明△COD∽△CDA，利用相似比可计算出OC=

25

8

，则CF=2OC=

25

4

，所以

7

4

≤CF≤

25

8

．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵D是AB中点，
∴CD=

1

2

AB=5，
∵∠FCE=90°，
∴EF为⊙O的直径，
而C点与点D为定点，
∴当CD为⊙O的直径时，⊙O的直径最小，
∴线段EF长的最小值为5；
（2）如图1，作CH⊥AB于H，OP⊥CD于P，
∵

1

2

CH•AB=

1

2

AC•BC，
∴CH=

6×8

10

=

24

5

，
∵OP⊥CD，
∴PD=PC=

1

2

CD=

5

2

，
∵圆O与AB边相切，点D在⊙O上，
∴点D为切点，
∴OD⊥AB，
∴OD∥CH，
∴∠1=∠2，
∴Rt△ODP∽Rt△DCH，
∴

OD

CD

=

DP

CH

，即

OD

5

=

5 2

24 5

，
∴OD=

125

48

，
即圆O的半径为

125

48

；
（3）∵∠ECF=90°，
∴∠EDF=90°，即DE⊥DF，
∴当点E在B点时，CF最短；当点C在E点时，CF最长，
如图2，点E在B点，则DF⊥AB，
∵∠DAF=∠CAB，
∴△ADF∽△ACB，
∴

AF

AB

=

AD

AC

，即

AF

10

=

5

8

，解得AF=

25

4

，
∴CF=AC-AF=

7

4

；
如图3，点C在E点，连结OD，
∵∠EDF=90°，
∴CF为⊙的直径，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵DA=DC=5，
∴∠ACD=∠CAD，
∴∠ODC=∠CAD，
∴△COD∽△CDA，
∴

OC

CD

=

CD

CA

，即

OC

5

=

5

8

，解得OC=

25

8

，
∴CF=2OC=

25

4

，
∴线段CF长的取值范围为

7

4

≤CF≤

25

8

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理、切线的性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．