Question

19．（1）已知：如图，点A，C，D，B在同一条直线上，AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求证：∠E=∠F．
（2）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 （1）先证明AD=BC，再利用“SAS”证明△ADE和△BCF全等，即可证明；
（2）先利用三角形的外角求出∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．

解答 （1）证明：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
即AD=BC，
在△ADE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠B}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠E=∠F；
（2）解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD-∠A=60°-30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{5}$≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．

点评 本题分别考查了全等三角形的判定与性质和仰角的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法和借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．