我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．(1)根据“奇异三角形的定义.请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形是真命题还是假命题?(2)在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AB=c.AC=b.BC=a.且b>a.若Rt△ABC是奇异三角形.求a:b:c,(3)如图.AB是⊙O的直径.C是⊙O上一点.D是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分12分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

（1）真命题．（2）a：b：c=1：：．（3）①见解析②60°或120°．

【解析】

试题分析：（1）设等边三角形的边长为a，代入检验即可；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可得

a2+b2=c2①，因为Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，所以a2+c2=2b2②，然后可得b=a，c=a，代入可求；（3）①要证明△ACE是奇异三角形，只需证AC2+CE2=2AE2即可；②由①可得ΔACE是奇异三角形，所以AC2+CE2=2AE2．当ΔACE是直角三角形时，由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．然后分两种情况讨论.

试题解析：【解析】
（1）真命题．（2分）

（2）在RtΔABC中，a2+b2=c2，

∵c>b>a>0，∴2c2>a2+b2，2a2<b2+c2，

若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2+c2，（3分）

∴2b2=a2+（a2+b2），∴b2=2a2，得b=a．

∵c2=b2+a2=3a2，∴c=a，

∴a：b：c=1：：．（5分）

（3）在RtΔABC中，a2+b2=c2，

①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，

在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；

在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．

∵D是半圆的中点，∴，

∴AD=BD，（6分），

∴AB2=AD2+BD2=2AD2，（7分）

又∵CB=CE．AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．

∴ΔACE是奇异三角形．（8分）

②由①可得ΔACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2．

当ΔACE是直角三角形时，

由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．

（Ⅰ）当AC：AE：CE=1：：时，

AC：CE=1：，即AC：CB=1：．

∵∠ACB=900，．∴∠ABC=30°，

∴∠AOC=2∠ABC=60°．（10分）

（Ⅱ）当AC：AE：CE=：：1时，

AC：CE=：1，即AC：CB=：1．

∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，

∴∠AOC=2∠ABC=120°，

∴∠AOC的度数为60°或120°．（12分）

考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.

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