Question

10．如图，△ABC中，已知∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，试说明BC=AD+AC．（提示：在BC边上取点E，使EC=AC，联结DE）．

Answer 1

分析 在BC边上截取EC=AC，连接DE，先由SAS证明△CDE≌△CAD，得出∠CED=∠A，ED=AD，再由外角的性质证出∠B=∠BDE，得出BE=ED，因此BE=AD，即可得出结论．

解答 证明：在BC边截取EC=AC，连接DE，如图所示：
则BC=BE+EC；
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCE=∠DCA，
在△CDE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AC}&{\;}\\{∠DCE=∠DCA}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CAD（SAS），
∴∠CED=∠A，ED=AD，
∵∠CED=∠B+∠BDE，∠A=2∠B，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=ED，
∴BE=AD，
∴BE+EC=AD+AC，
即BC=AD+AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．