Question

16．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB=4．动点P从A点出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC=40°，当t=$\frac{4}{9}$或$\frac{14}{9}$或$\frac{22}{9}$或$\frac{32}{9}$秒时，点P与点C中心对称，且对称中心在直径AB上．

Answer 1

分析 根据中心对称的定义，可得P点的位置，根据弧长公式，可得$\widehat{AP}$，根据路程除以速度等于时间，可得答案．

解答 解：如图，
当∠AOP₁=40°时，P₁与C₁对称，$\widehat{A{P}_{1}}$=4π×$\frac{40}{360}$=$\frac{4π}{9}$，t=$\frac{4π}{9}$÷π=$\frac{4}{9}$；
当∠AOP₂=140°时，P₂与C₁对称，$\widehat{A{P}_{2}}$=4π×$\frac{140}{360}$=$\frac{14}{9}$π，t=$\frac{14π}{9}$÷π=$\frac{14}{9}$；
当∠AOP₃=220°时，P₃与C₂对称，$\widehat{A{P}_{3}}$=4π×$\frac{220}{360}$=$\frac{22π}{9}$，t=$\frac{22π}{9}$÷π=$\frac{22}{9}$；
当∠AOP₄=320°时，P₄与C₁对称，$\widehat{A{P}_{4}}$=4π×$\frac{320}{360}$=$\frac{32}{9}$π，t=$\frac{32π}{9}$÷π=$\frac{32}{9}$；
故答案为：$\frac{4}{9}$或$\frac{14}{9}$或$\frac{22}{9}$或$\frac{32}{9}$．

点评 本题考查了中心对称，利用中心对称得出P点的位置是解题关键，又利用了弧长公式，要分类讨论，以防遗漏．